Hallo Mirilein und herzlich Willkommen im Forum.

Also so wie Du schreibst scheint die Katze nicht sonderlich gut versorgt zu sein.
Nun, Du kannst sie natürlich nicht einfach mit zu Dir nehmen. Es sei denn, Du unterhälst Dich mit dem Besitzer, dass sie eh nur bei Dir ist, bei dir frisst usw., evtl. sagt er dann, dass Du sie nehmen kannst, ansonsten eben nicht.
Wenn die Katze in einem sehr schlechten Zustand ist, dann würde ich an Deiner Stelle den Tierschutz einschalten, denn auch bei Freigängern, die ab und an zuhause sind, hat der Besitzer auf die Tiere zu achten und sie zu versorgen.
Wenn sie sich an der selben Stelle als kratzt, kann es durchaus sein, dass sie Flöhe hat. Wenn da Fell fehlt, kann es auch eine Pilzerkrankung sein.
Viele Freigänger sind sehr liebesbedürftig, daher ist es normal, dass sie viel schmusen wollen, laut schnurren und genüßlich die Streicheleinheiten genießen.
Wie alt ist sie denn? Weißt Du das in etwa? Denn ältere Katzen sind zwar noch ab und an am Toben, werden aber im allgemeinen Verhalten ruhiger als junge Katzen.
Zu dem Thema mit dem strengen Geruch beim Putzen, würde ich auf eine Zahn- oder Magenerkrankung tippen. Kannst ihr ja mal ins Mäulchen schauen, wenn sie das nächste Mal bei Euch ist, falls sie sich das von Dir gefallen lässt. Wenn da Entzündungen oder faule Zähne sichtbar sind, hat sie ein arge Zahnerkrankung. Wobei das auch Anzeichen für innere Erkrankungen sind.

Red einfach mal mit dem jetzigen Besitzer, vielleicht ist sein Interesse an der Katze ja wirklich so gering, dass er sagt, dass Du die Mauk zu Dir nehmen kannst.

LG Vanessa

Also wenn die Mauk Flöhe hat, dann sind die jetzt im Bett...ja...
Wenn sie bei Euch gerade ist, dann schau Dir doch mal ihr Fell an, normalerweise sind Flöhe eigentlich recht gut zu erkennen.
Falls Du nichts erkennen kannst, dann mach Dir nicht so viele Sorgen.

Hat sie denn kahle Stellen im Fell? Wenn ja, und wenn diese nur an vereinzelten Stellen sind, dann ist durchaus eine Pilzerkrankung möglich. Wenn nicht, dann kann es sein, dass es die Katze einfach so mal juckt.
Kennst Du als Mensch ja auch, wenn Du z. B. mal ne trockene Hautstelle hast, dann juckt es Dich dort oder auch aus einem nicht erkennbaren Grund kribbelt es uns ja auch mal.

Zu den komischen Geräuschne beim Futtern....das kann durchaus ein Aufstoßen sein. Katzen tun das wie wir auch. Vielleicht hat sie etwas hastig gefressen und dadurch etwas zu viel Luft in den Magen bekommen.

Tja, zu dem jetzigen Besitzer kann ich so pauschal nichts sagen, aber anscheinend macht er einen abschreckenden Eindruck, dass Du ihn jetzt im Mom noch nicht ansprechen willst.
Evtl. magst Du ihn einfach jetzt nicht vor den Kopf stossen und ihn auf die Miezi ansprechen, weil er ja gerade erst zugezogen ist.
Muss ja nicht sofort sein. Und wenn die Katze Freigänger ist, und er sich keine Gedanken darüber macht, dass die Katze nicht heimkommt, dann kann sie sicherlich auch mal ne Nacht bei Euch bleiben, wenn sie sich da wohler fühlt.
Aber sie auf Dauer zu sich zu nehmen, geht halt nur in Zustimmung mit dem jetzigen Besitzer.

LG Vanessa